Тейлору исполнилось 330 лет

G3uhzeLdhAw1

День рождения празднует создатель знаменитого ряда.

Брук Тейлор родился 18 августа 1685 года в Эдмонтоне, Англия. В 16 лет он пошел в колледж, а в 23 получил решение одной замечательной задачи из классической механики, так называемой задачи о центре колебаний. Суть ее такова: пусть у нас есть некоторое колеблющееся тело заданной формы. В нем надо найти такую точку, что, если тело заменить на подходящий (здесь есть несколько вариантов, мы в них вдаваться не будем) математический маятник (материальная точка на нерастяжимой невесомой идеальной нити) той же массы, он будет колебаться с той же частотой, что и центр колебаний. Решение задачи было изложено в труде Methodus Incrementorum Directa er Inversa.

Однако, так как решение не было опубликовано до 1714 года, да и работы самого Тейлора не отличались простотой изложения, британский математик оказался втянут в спор о с одним из Бернулли, Иоганном. Швейцарец утверждал, что именно он решил первым задачу. Ситуация осложнялась тем, что Тейлор в своих работах и правда пользовался книжкой Бернулли. Так как в то время между континентальными математиками с Лейбницем во главе и англичанами под руководством Ньютона была форменная война (она началась со спора двух этих великих математиков о том, кто же из них придумал математический анализ), то противостояние семьи Тейлоров и Бернулли растянулось на годы. Формально, эти семьи помирились только в 1990 году.

w4KPynHdpDE1

Ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Вероятно из-за спора современники Тейлора совершенно пропустили несколько других важных результатов, изложенных в Methodus Incrementorum Directa er Inversa, главными из которых, пожалуй, были открытие формулы Тейлора (до Тейлора ее открыл шотландец Джеймс Грегори, но так никогда и не опубликовал своих работ) и создания разностного исчисления. Суть формулы Тейлора сейчас всем хорошо известно — для изучения функции f (x) на достаточно малом отрезке ее предлагается заменять на степенной ряд, коэффициенты которого определяются значениями производной в фиксированной точке отрезка.

Иногда достаточно рассматривать не весь ряд (то есть бесконечное число членов), а только подходящий многочлен P (x). В этом случае для разности |f (x) — P (x)| существует множество оценок. Они носят коллективное название «остаточный член». Самые известные, пожалуй, это остаточные члены в форме Лейбница, в виде о-малого. Отметим, что ряд Тейлора с центром в нуле еще называют рядом Маклорена.

xpt-UDBznUs1

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций

Разностным исчислением (разностными схемами) сейчас называют схему работы, при которой вместо производных в задаче рассматриваются разности, то есть, например, вместо f'(x) берется (f (x + h) — f (x))/h для некоторого фиксированного h. Подобный подход лежит в основе большинства численных методов решения дифференциальных уравнений.